PERSAMAAN DIFFRENSIAL HOMOGEN

Salam sejahtra bagi kita semua, kali ini kami memposting materi persamaan diferesial biasa. Jadi, silahkan anda membuat kopi, panggil teman anda dan beli cemilang setelah itu berdiskusilah, jangan gibah wkwkwk...

PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA

Persamaan diferensial adalah persamaan yang melibatkan variabel-variabel tak bebas dan derivatif-derivatifnya terhadap variabel-variabel bebas. Berikut ini adalah contoh persamaan diferensial:

Persamaan Diferensial Biasa (ordinary differential equation) disingkat PDB adalah suatu persamaan diferensial yang hanya mempunyai satu variabel bebas. Jika y(x) adalah suatu fungsi satu variabel, maka x dinamakan variabel bebas dan y dinamakan variabel tak bebas. Persamaan (1), (2), (3) adalah contoh PDB.

Orde persamaan diferensial ditentukan oleh turunan tertinggi dalam persamaan tersebut, contoh:

Persamaan di atas dapat ditulis dg notasi lain yaitu:

Derajat (degree) dari suatu persamaan diferensial adalah pangkat tertinggi dari turunan tertinggi suatu persamaan diferensial, contoh:

Syarat tambahan pada persamaan diferensial, untuk satu nilai variabel bebas yang mempunyai satu atau lebih nilai syarat disebut syarat awal (initial conditions). PD dengan syarat awal dikatakan sebagai suatu masalah nilai awal (initial-value problem). Jika syarat yang diberikan pada PD lebih dari satu nilai variabel bebas, disebut syarat batas dan merupakan PD dengan masalah nilai batas (boundary-value problem).

Solusi (Penyelesaian) PDB 

Beberapa jenis solusi PD akan dijabarkan sebagai berikut:

Solusi PD bentuk eksplisit yaitu solusi PD dengan fungsi yang mana variabel bebas dan variabel tak bebas dapat dibedakan dengan jelas. Solusi eksplisit dinyatakan dalam bentuk y = f(x). Contoh solusi/fungsi eksplisit: 

Solusi PD bentuki implisit yaitu solusi PD dengan fungsi yang mana variabel bebas dengan variabel tak bebas tidak dapat dibedakan secara jelas. Fungsi implisit ditulis dalam bentuk f(x,y) = 0. Contoh solusi/fungsi implisit:

Penyelesaian implisit dan penyelesaian eksplisit, keduanya secara singkat biasa disebut penyelesaian PDB. Solusi Persamaan Diferensial Biasa (PDB) terbagi dalam tiga jenis solusi yaitu:

·         Solusi Umum (Penyelesaian Umum): solusi PDB yang masih mengandung konstanta sebarang misalnya c.

·         Solusi Khusus/Partikulir (Penyelesaian Khusus/Partikulir): solusi yang tidak mengandung konstanta variabel karena terdapat syarat awal pada suatu PDB.

·         Solusi Singular (Penyelesaian Singular): solusi yang tidak diperoleh dari hasil mensubstitusikan suatu nilai konstanta pada solusi umumnya. 

Contoh: diketahui sebagai solusi umum dari PDB:tetapi disisi lain PDB tersebut mempunyai penyelesaian lain: ,penyelesaian ini disebut sebagai penyelesaian singular.

Metode Penyelesaian. Metode yang digunakan untuk mencari solusi (menyelesaikan) Persamaan Diferensial antara lain:

1.      Metode Analitik: Metoda ini menghasilkan dua bentuk solusi yaitu bentuk eksplisit dan implisit. Untuk masalah-masalah yang komplek metode analitik ini jarang digunakan karena memerlukan analisis yang cukup rumit.

2.      Metode Kualitatif: Solusi PDB didapatkan dengan perkiraan pada pengamatan pola medan gradien. Metode ini memberikan gambaran secara geometris dari solusi PDB. Metode ini meskipun dapat memberikan pemahaman kelakuan solusi suatu PDB namun fungsi asli dari solusinya tidak diketahui dan metode ini tidak digunakan untuk kasus yang komplek.

3.      Metode Numerik. Solusi yang diperoleh dari metode ini adalah solusi hampiran (solusi pendekatan/aproksimasi). Dengan bantuan program komputer, metode ini dapat menyelesaikan PDB dari tingkat sederhana sampai pada masalah yang komplek.
Ketiga metode tersebut dapat diselesaikan dengan software MATLAB.

Pembentukan Persamaan Diferensial

Secara matematis, persamaan diferensial muncul jika ada konstanta sembarang dieliminasikan dari suatu fungsi tertentu yang diberikan. Contoh: Bentuklah persamaan diferensial dari fungsi berikut

Penyelesaian:

dari fungsi yang diberikan (soal) konstanta sembarang A adalah:

sehingga

sehingga

Satu contoh lagi, bentuklah persamaan diferensial untuk

Penyelesaian:

substitusikan konstanta A ke:

sehingga

dengan mensubstitusikan A dan B pada persamaan:

kita dapatkan:

Hasil akhir penyelesaian di atas adalah persamaan diferensial orde dua. Jadi fungsi dengan satu konstanta sembarang menghasilkan persamaan diferensial orde satu, sedangkan fungsi dengan dua konstanta sembarang menghasilkan persamaan diferensial orde dua. Sehingga berlaku kaidah:

Fungsi yang mempunyai n buah konstanta sembarang akan menghasilkan Persamaan Diferensial orde ke-n

Sedikit tambahan :(
Contoh Soal:
Bentuklah persamaan diferensial dari

Turunkan kedua ruas terhapa x, diperoleh

Karena, dengan mengubah A sebagai subjek perasamaan, diperoleh

Subtitusikan A ini ke didapat

Jadi persamaan diferesialnya adalah

1.      Carilah persamaan diferensial dari himpunan garis lengkung y = Ce^-4x dan C adalah konstanta sembarang

Ingatlah rumus turunan fungsi transenden berikut, dengan u menyatakan fungsi dalam variabel bebas x.

Karena ada satu konstanta sembarang, maka dibutuhkan 2 persamaan untuk mengeliminasinya dan orde tertinggi dari turunannya adalah 1.
Persamaan 1:

Turunkan terhadap x, diperoleh

Dari persamaan 1 :disubititusikan C ke persamaan 2 untuk mendapatkan

 Tentukan persamaan diferensial dari x = y – (y² + 1) 

Diberikan persamaan x = y – (y² + 1)  . Turunkan terhadap y, diperoleh
 

1.      Tentukan penyelesaian umum dari 2y” – 8 = 0

Misalkan y adalah fungsi dari x, sehingga

1.      Bentuklah persamaan diferensial dari y = A Sin x + B Cos x

Ingat bahwa

turunkan sekali lagi terhadap x, diperoleh

Dengan demikian, kita dapatkan

Cukup saja materi ini sampai disini tapi bohoong....
Beberapa hari kedepan, kami akan memberikan materi kelanjutannya
Tetap dirumah saja
Jaga kesehatan
dan yang suka rebahan disinilah skill lo diuji :)