PERSAMAAN DIFFRENSIAL HOMOGEN

Hai sobat Mad School, maaf nih baru sempat posting karena harus dipahami dulu baru dipost :(. kali ini kami memposting materi Turunan dan Integral. So, cekidot....

TURUNAN DAN INTEGRAL

TURUNAN

Turunan Matematika adalah pengukuran terhadap Fungsi yang berubah seiring perubahan Nilai Inputnya karena secara umum Turunan Matematika itu menyatakan bagaimana suatu besaran dapat berubah akibat perubahan besaran lainnya. Sebagai Contoh, Turunan dari Posisi sebuah benda yang bergerak terhadap waktu ialah Kecepatan yang sesaat dari Objek tersebut dan proses dlm menemukan Turunan disebut dengan Diferensiasi.

• (in x)’

• (sin x)’ = cos x

• (cos x)’ = -sin x

• (tan x) = sec² x

• y’ merupakan simbol untuk turunan pertama.

• y” merupakan simbol untuk turunan kedua.

• y”’ merupakan simbol untuk turunan ketiga.

A.    TURUNAN PERTAMA

Misalnya  y merupakan fungsi dari x atau dapat ditulis juga y=f(x). Turunan dari y terhadap x dinotasikan sebagai berikut:

Dengan menngunakan definisi turunan diatas dapat diturunkan beberapa rumus-rumus turunan, yaitu :

1. Jika diketahuidimana C dan n konstanta real, maka  

Perhatikan contoh berikut :

2. Jika diketahui  y=C dan 

Perhatikan contoh berikut :

3. Untuk y=f(x)+g(x) maka 

Perhatikan contoh berikut :

4. Untuk y=f(x).g(x) maka

atau dapat juga kita misalkan f(x)=u dan g(x)=v sehingga rumus turunan u.v=u’v+uv’

B.    TURUNAN KEDUA

Turunan kedua dari y=f(x) terhadap x dinotasikan sebagai berikut

Turunan kedua merupakan turunan yang diperoleh dengan menurunkan kembali turunan pertama. Perhatikan contoh berikut :

INTEGRAL

Integral secara sederhana dapat disebut sebagai invers (kebalikan) dari operasi turunan. Kita sebut F suatu anti turunan dari f pada selang I jika DF = f pada I – yakni, jika F’(x) = f(x) untuk semua x dalam I (jika x di suatu titik ujung dari I, F’(x) hanya perlu berupa turunan satu sisi)

A.    Notasi Integral

Apabila fungsi F(x) sebuah anti turunan dari fungsi f(x) maka dapat dituliskan

∫ f(x) dx = F(x) + C

Dan dibaca “integral dari sebuah fungsi f(x) terhadap x adalah fungsi F(x) tambah konstanta C.”

Keterangan mengenai notasi integral:

·         Simbol ∫ adalah simbol integral yang menunjukan banyak bentuk umum anti turun fungsi f(x). Simbol ini diperkenalkan oleh Leibniz seperti huruf “S” dari kata “sum” yang berarti penjumlahan.

·         f(x) sesudah simbol ∫ dinamakan fungsi integral

·         Simbol dx setelah fungsi integral f(x) untuk menunjukan diferensial terhadap x (setelah huruf d dari dx), adalah variabel integral.

·         F(x) dinamakan fungsi primitif atau fungsi dari integral dari f(x)

·         C dinamakan konstanta integral

Contoh integral:

Dalam soal ini, batas atas adalah 1 dan batas bawah -2. Tahap pertama yang perlu kita lakukan adalah melakukan integral fungsi  3x² + 5x + 2 menjadi seperti di bawah ini.

Setelah kita mendapatkan bentuk integral dari fungsi tersebut, kita dapat memasukkan nilai batas atas dan bawah ke dalam fungsi tersebut lalu mengurangkannya menjadi seperti berikut.

Hasil dari integral tersebut adalah 27,5.

Sifat Integral

Beberapa sifat integral yaitu sebagai berikut.

 
B.    Integral Tak Tentu

Seperti yang telah dijelaskan pada bagian sebelumnya, integral tak tentu merupakan suatu kebalikan dari turunan. Kalian dapat menyebutnya sebagai anti turunan atau antiderivative.

Integral tak tentu dari suatu fungsi menghasilkan fungsi baru yang belum memiliki nilai yang tentu karena masih terdapat variabel dalam fungsi baru tersebut. Bentuk umum integral tentu.

Rumus:

Keterangan:

f(x)  : persamaan kurva

F(x)  : luasan di bawah kurva f(x)

C     : konstanta

Contoh integral tak tentu:

C.    Integral Tentu

Integral tentu didefinisikan sebagai jumlahan suatu daerah yang dibatasi kurva atau persamaan tertentu. Berbeda dari integral tak tentu, integral tentu memiliki nilai tertentu karena batas yang ditentukan sudah jelas.

Secara umum, integral tentu didefinisikan sebagai

Keterangan:

f(x)  : persamaan kurva

a, b  : batas bawah dan batas atas integral

F(b), F(a) : nilai integral untuk x = b dan x = a.

Contoh integral tentu:

 Carilah hasil dari ʃ²₁ 6x² dx !

Jadi, hasil dari ʃ²₁ 6x² dx adalah 14.

D.    Integral Substitusi

Beberapa permasalahan atau integral suatu fungsi dapat diselesaikan dengan integral substitusi jika terdapat perkalian fungsi dengan salah satu fungsi merupakan turunan fungsi yang lain.

Perhatikan contoh berikut.

Kita misalkan U = ½ x² + 3 maka dU/dx = x

Sehingga  x dx = dU

Persamaan integral substitusinya menjadi

= -2 cos U + C = -2 cos ( ½ x² + 3) + C

Contoh Subtitusi:

E.    Integral Parsial

Integral parsial biasa digunakan untuk menyelesaikan integral dari perkalian dua fungsi. Secara umum, integral parsial didefinikan dengan

Keterangan:

U, V  : fungsi

dU, dV : turunan dari fungsi U dan turunan dari fungsi V

Contoh Integral Parsial:

 Tentukan hasil dari ʃ (2x+1) cos (x + π) dx !

Misal

u = 2x+1

dv = cos (x + π) dx

Maka

du = 2 dx

v = ʃ cos (x + π) dx = sin (x + π)

Sehingga

∫ u dv = uv − ∫v du

∫ u dv = (2x+1) . sin (x +π) − ∫ sin (x + π) . 2 dx 

∫ u dv = (2x+1) . sin (x +π) − 2 (− cos (x + π)) + C

∫ u dv = (2x+1) . sin (x +π) + 2 cos (x + π) + C

Jadi, hasil dari ʃ (2x+1) cos (x + π) dx adalah (2x+1) . sin (x +π) + 2 cos (x + π) + C.


Maaf  ya, mungkin itu sedikit penjelasan kami. inssyallah kami perbaruhi postingan ini biar materinya mudah dipaham... Jika ada saran atau kekurangan pada materi ini tolong dikomen....
Oke !

adapun contoh soal yang kami sediakan, semoga bisa bermanfaat
Contoh Soal

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 

Jawaban:

1. 
2. 
3. 
4. 
5.